等差等比数列速算
输入首项与公差（或公比）和项数，瞬间得到通项公式、前n项和 Sₙ、列表项， 附带"构造法"提示（累加、累乘、待定系数）——这是湖北新高考I卷数列解答题第二问的核心套路。
使用说明
- 三个标签分别对应等差、等比、错位相减三种题型，可独立使用。
- 等差给出通项公式 aₙ = a₁+(n−1)d 与 Sₙ = n/2 · (2a₁+(n−1)d)，并列出前 n 项。
- 等比注意 q=1 与 q≠1 的公式不同：本工具会自动判断。
- 错位相减展示完整的"两边相减 → 整理 Sₙ"过程，方便你把答案代入卷面比对。
湖北新高考I卷怎么用
新高考I卷第 18 题（解答题第三道）通常是数列大题，分两问： 第一问求通项或前n项和，第二问证明不等式或求最值。
第二问常见套路：
- 证明 aₙ < bₙ → 多用数学归纳法或放缩（qⁿ ≈ 0 当 n→∞）。
- 求 Sₙ 最大/最小 → 在等差场景下，往往 末项 aₙ 变号 时取极值。
- 已知 Sₙ，求 aₙ → 用 aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁（n≥2），再单独验 a₁。
手算对照：数列题的分点比答案更值钱
新高考I卷数列题失分，八成不是最后求和算错，而是分点没写够。 工具帮你确认结果，但阅卷给的是步骤分——下面是对应的卷面写法。
① 等差 / 等比的判定式
- 等差：后一项减前一项 = 同一个常数 d（作差）
- 等比：后一项除前一项 = 同一个常数 q（作商）
- 两者都验算时，至少算三组，只算两组可能是巧合
- 确定通项后用 aₙ=a₁+(n−1)d 或 aₙ=a₁qⁿ⁻¹ 代回第 3 项验算
② 求和题的分点清单
- 先写求和符号 Sₙ 的表达式（含 n）
- 等差用错位相减时，两边同乘 n 后相减，别漏乘
- 裂项要写清分母形式，如 1/(k(k+1))=1/k−1/(k+1)
- 最后必须出现 n 的表达式，且能代入 n=1 反验
边界说明：本工具覆盖等差、等比数列的通项与求和，以及常见裂项型；不含递推数列求通项（如 aₙ₊₁=2aₙ+1 的特征根法）、 不含数列单调性证明、不含用数学归纳法的题型。
数列解答题的分问结构：第一问是第二问的钥匙
数列解答题在湖北卷几乎都是两问，而且第二问的入口一定藏在第一问的结论里。 工具算得快，但"用哪一步"要自己想清楚。
① 两种主流考法
- 求通项与前 n 项和：等差用公式，等比用错位相减或除法
- 求通项 + 证明不等式：第一问给通项，第二问常用放缩或作差，都以第一问为起点
- 看到"数列 {aₙ} 满足 …"时，先判断它是等差、等比还是递推——三者的第一问做法完全不同
② 用工具做两处核对
- 把工具给的通项代回原递推式验算一次，通项错就是第一问错
- 把前 n 项和代入第 n 项与第 n+1 项相减，检验是否还原出通项——这是最快查和式公式的方法
边界说明：本工具覆盖等差、等比数列的通项、前 n 项和与常用速算技巧； 不覆盖一般递推数列的通项求法、不覆盖数列不等式的证明过程、不覆盖裂项求和之外的复杂求和技巧。
常见问题
等差公式写错了？是不是负号问题？
aₙ = a₁ + (n−1)d 中，d 是带符号的。若 a₁=2、d=−3，则通项随 n 递增而递减。 如果你只是想要"差值大小"，可以 d 取绝对值再算一次对比。
等比 q=1 时结果为什么和等差一样？
是的。等比 q=1 时每项都等于 a₁，所以 Sₙ = n·a₁，性质上退化为"公差=0 的等差"。本工具已在等比面板特别标注。
错位相减的"q=1"边界怎么处理？
错位相减的标准推导需要 q≠1。若 q=1，∑ k·a 等差求和，请切回等差标签处理。
支持任意公比（包括分数、负数）吗？
支持。比如公比 = −2、½ 都行。注意 q<0 时数列项会在符号间震荡，Sₙ 的公式仍然成立，但需要更多项才能看出趋势。
局限性与适用范围
- 只支持等差、等比、错位相减三类标准模型。递推式 aₙ₊₁ = k·aₙ + b 需要先做待定系数变换才能用，请配合"待定系数法提示"手算。
- 第二问证明题不能直接由本工具完成，本工具只帮你核对第一问的计算结果，把时间省下来做证明。