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函数与导数 · 数列速算
等差等比数列速算
输入首项与公差（或公比）和项数，瞬间得到通项公式、前n项和 Sₙ、列表项， 附带"构造法"提示（累加、累乘、待定系数）——这是湖北新高考I卷数列解答题第二问的核心套路。
使用说明
- 三个标签分别对应等差、等比、错位相减三种题型，可独立使用。
- 等差给出通项公式 aₙ = a₁+(n−1)d 与 Sₙ = n/2 · (2a₁+(n−1)d)，并列出前 n 项。
- 等比注意 q=1 与 q≠1 的公式不同：本工具会自动判断。
- 错位相减展示完整的"两边相减 → 整理 Sₙ"过程，方便你把答案代入卷面比对。
原创提示：遇到非纯等差/等比数列（递推式 aₙ₊₁ = k·aₙ + b），
解题套路是"待定系数构造等比"：令 aₙ₊₁ + t = k(aₙ + t)，求出 t = b/(k−1)，然后 {aₙ + t} 才是等比数列。
本工具暂未自动做这一步，请用 等比 标签把变换后的数列代进去求 Sₙ。
湖北新高考I卷怎么用
新高考I卷第 18 题（解答题第三道）通常是数列大题，分两问： 第一问求通项或前n项和，第二问证明不等式或求最值。
第二问常见套路：
- 证明 aₙ < bₙ → 多用数学归纳法或放缩（qⁿ ≈ 0 当 n→∞）。
- 求 Sₙ 最大/最小 → 在等差场景下，往往 末项 aₙ 变号 时取极值。
- 已知 Sₙ，求 aₙ → 用 aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁（n≥2），再单独验 a₁。
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常见问题
等差公式写错了？是不是负号问题？
aₙ = a₁ + (n−1)d 中，d 是带符号的。若 a₁=2、d=−3，则通项随 n 递增而递减。 如果你只是想要"差值大小"，可以 d 取绝对值再算一次对比。
等比 q=1 时结果为什么和等差一样？
是的。等比 q=1 时每项都等于 a₁，所以 Sₙ = n·a₁，性质上退化为"公差=0 的等差"。本工具已在等比面板特别标注。
错位相减的"q=1"边界怎么处理？
错位相减的标准推导需要 q≠1。若 q=1，∑ k·a 等差求和，请切回等差标签处理。
支持任意公比（包括分数、负数）吗？
支持。比如公比 = −2、½ 都行。注意 q<0 时数列项会在符号间震荡，Sₙ 的公式仍然成立，但需要更多项才能看出趋势。
局限性与适用范围
- 只支持等差、等比、错位相减三类标准模型。递推式 aₙ₊₁ = k·aₙ + b 需要先做待定系数变换才能用，请配合"待定系数法提示"手算。
- 第二问证明题不能直接由本工具完成，本工具只帮你核对第一问的计算结果，把时间省下来做证明。