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几何与向量 · 立体几何
立体几何空间向量助手
选一个常见立体几何体（三棱柱、四棱锥、正方体等），调整边长， 自动得到顶点坐标、平面法向量、典型二面角和体积。 对照几何法与向量法的结果差异，了解湖北卷怎么给分。
使用说明
- 选体（正方体/正三棱柱/正四棱锥/正三棱锥）。
- 调整边长 a、棱高 b（b=0 时按标准比例自动取）。
- 点击"计算"：展示顶点坐标、各面法向量、典型二面角、几何量（体积、表面积、棱长和）。
- 勾选"法向量"可在图上叠加平面法向量箭头。
原创提示：若考题是"不规则"立体（如三棱锥有斜面），请把顶点坐标改在
点 A / B / C / D 处。本工具只预置标准体；
自定义坐标支持有限，但变体可手动改 constants 数组（在 JS 内）。
实务中多数题会先降为标准体，请优先用模板。
湖北新高考I卷怎么用
新高考I卷立体几何常考"建系 + 法向量"或"几何推理"。 湖北卷近 5 年偏好向量法：第一问证平行/垂直（5 分），第二问求二面角（7 分）， 第二问几乎都允许"任选一种方法"。
- 向量法：写出两点坐标 → 求向量 → 用公式 cosθ=|n₁·n₂|/(|n₁||n₂|) 算二面角余弦。
- 几何法：找棱上垂足 → 证两个垂面 → 用"三垂线定理"推角。
- 两者答案在数值上常有细微差异（±0.001），来自计算过程中"取近似"。本工具的几何法对比帮你看出哪里吃了尾差。
手算对照：立体几何的得分点全在"设"和"证"
立体几何题最容易写成"感觉对"。阅卷只认两样东西：设出可算的量，和把结论落到某个定理上。 工具帮你核对数值，但这两步必须自己写。
① 卷面得分点清单
- 设：把图形翻译成方程（建系 / 设未知量），这一步不写满，后面全扣
- 证线面平行垂直：必须点名用哪个定理（线面平行判定、面面垂直性质…）
- 证等长：全等 / 相似 / 勾股三选一，写清对应边
- 算体积与距离：三棱锥用底面积×高÷3，距离优先用等体积法
② 工具输出怎么用
- 工具给的法向量是验算题设的：你设的方向向量要与之数量积为 0，对不上就是设错方向
- 工具给的点积 / 夹角用来确认"异面直线所成角"落在 0°~90° 区间内
- 工具给的距离可以直接回代，但要确认你用的是同一条直线（工具输入的 P、Q 要和题目一致）
三类高频错法：
① 把异面直线所成角算成两条方向向量的夹角——当方向向量夹角是钝角时必须取补角，取 min(θ, π−θ)；
② 用"垂直"代替"垂直于平面"——证线面垂直要说明这条线垂直于平面内两条相交直线，只证一条不够；
③ 体积漏掉 ÷3——三棱锥不是柱体，公式是 V=Sh/3，漏掉 3 是本类题最高频的整题失分。
边界说明：本工具做的是向量层面的计算（点积、叉积、夹角、距离、混合积）； 不包含几何证明的推理过程、不包含二面角与多面体展开、不处理"是否存在"类命题（如"是否存在实数 m 使…"）。
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常见问题
法向量方向不对，结果差个负号？
法向量可正可负，二面角取的是"余弦的绝对值"。所以最终答案应该是正数；如果算出负，是题意的"内/外二面角"分别，需要留意题目"取余弦"还是"取余弦绝对值"。
为什么我的图里看不到 3D 效果？
本工具用 2D 投影绘制（并不是真 3D 引擎），按"近大远小"原则把 3 个方向错开。如果你在小屏幕上发现显示模糊，请尝试横屏或在更大屏幕访问。
支持自定义顶点吗？
暂不支持。鼓励你用模板几何体（正方体、棱柱等）建系。考题里绝大多数立体都能化归为这几种。
二面角算出来和我手算不一致
先确认两条法向量是朝向"该二面角内部"还是"外部"——如果其中一条反了，取反号就好（绝对值不变）。其次要确认两平面的法向量都过同一点或平行于同一棱。
局限与适用范围
- 仅标准正多面体（正方体 / 正棱柱 / 正棱锥），不规则立体请用模板的几何关系先降为标准。
- 2D 投影图不替代真正的 3D 建模，仅供"看到位置关系"。考试卷面仍要画立体图。