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几何与向量 · 复数运算
复数运算与几何表示
输入两个复数 z₁ 与 z₂，自动计算加减乘除、共轭、模、辐角， 并把两个复数作为平面向量画在复平面上，几何意义一眼可见。 这对理解旋转、模运算、共轭的几何含义都很有用。
实部 a
虚部 b
实部 c
虚部 d
使用说明
- 输入 z₁、z₂ 的实部与虚部，可以是负数或零。
- 点击"计算"：得到 z₁+z₂、z₁−z₂、z₁·z₂、z₁/z₂、共轭、模、辐角。
- 图像用复平面展示：原点为 0，横轴为实轴，纵轴为虚轴。两个复数作为向量从原点出发。
- 绿色虚线是 z₁+z₂（向量加法的平行四边形对角线）；橙线段是 z₁ 与 z₂ 的差。
原创提示：看到 (1+i)²=2i 这种题，不要硬算——
它等价于"长度 √2 的向量逆时针转 90°"。复数乘法 = 长度相乘、角度相加，几何意义比代数更直观。
湖北新高考I卷怎么用
新高考I卷复数题一般在选填部分第 1-3 题，位置偏前，难度中等。 常见题型：求值、求共轭、判共轭几何意义、复数模与不等式联用。
三类高频考点：
- 几何意义："|z−(1+i)|=2" 表示以 (1,i) 为圆心、半径 2 的圆。复数与解析几何互译。
- 共轭虚根：实系数一元二次方程的判别式 < 0 时，根必共轭。复数题常考这个。
- 辐角/复数三角式：极坐标形式 r(cosθ+i sinθ)，配合棣莫弗定理。
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常见问题
z₂ = 0 时除法怎么算？
不能除。0 没有逆元。本工具此时会显示 ⚠ 而不是崩溃。请改用减法或求共轭。
辐角为什么有时是负数？
辐角 θ ∈ (−π, π] 是常用的取值范围（"主辐角"）。z 在第四象限时辐角为负，完全合理。如果题目要求 [0, 2π)，请把负值加 2π。
"z₁·z₂"和"z₁·z̄₁"差在哪？
后者 = |z₁|² 是实数；前者是两复数相乘 = 长度相乘、角度相加（旋转）。考试时常常考这两者的差异。
能算复数指数 e 的幂吗？
不支持，请绕路用"极坐标形式"配合 Euler 公式手算。本工具定位是四则运算 + 共轭/模，几何基础。
局限性与适用范围
- 只支持两个复数间的四则运算，多复数连乘/连加请手动结合律做。
- 辐角用主辐角（−π<θ≤π）。如考试要求 [0,2π)，请自行换算。
- 不含指数/三角函数复合，仅复数基本运算。