复数运算与几何表示
输入两个复数 z₁ 与 z₂，自动计算加减乘除、共轭、模、辐角， 并把两个复数作为平面向量画在复平面上，几何意义一眼可见。 这对理解旋转、模运算、共轭的几何含义都很有用。
使用说明
- 输入 z₁、z₂ 的实部与虚部，可以是负数或零。
- 点击"计算"：得到 z₁+z₂、z₁−z₂、z₁·z₂、z₁/z₂、共轭、模、辐角。
- 图像用复平面展示：原点为 0，横轴为实轴，纵轴为虚轴。两个复数作为向量从原点出发。
- 绿色虚线是 z₁+z₂（向量加法的平行四边形对角线）；橙线段是 z₁ 与 z₂ 的差。
湖北新高考I卷怎么用
新高考I卷复数题一般在选填部分第 1-3 题，位置偏前，难度中等。 常见题型：求值、求共轭、判共轭几何意义、复数模与不等式联用。
三类高频考点：
- 几何意义："|z−(1+i)|=2" 表示以 (1,i) 为圆心、半径 2 的圆。复数与解析几何互译。
- 共轭虚根：实系数一元二次方程的判别式 < 0 时，根必共轭。复数题常考这个。
- 辐角/复数三角式：极坐标形式 r(cosθ+i sinθ)，配合棣莫弗定理。
手算对照：复数题写"几何意义"比写"运算"更得分
复数运算看着简单，但阅卷时"写出几何意义"的那一栏往往是独立得分点。 工具能告诉你数值是什么，它是什么还得你自己说清楚。
① 三种"翻译"要背熟
- 点：z=x+yi ↔ 平面上的点 (x,y)
- 向量：z₁−z₂ 表示从 z₂ 指向 z₁ 的向量
- 旋转与伸缩：乘 z₀ 就是模长伸缩 |z₀| 倍 + 旋转 arg(z₀)
② 工具输出怎么读
- 模 |z|：就是点到原点的距离，题目问"最大距离"时直接是几何问题
- 辐角 arg(z)：默认取主辐角 (−π,π]；题目要 [0,2π) 就自己加 2π
- 共轭 z̄：关于实轴对称；z·z̄=|z|² 是实数，这两条是高频考点
边界说明：本工具做四则运算、共轭、模与辐角，并给出复平面上的几何示意； 不包含复数幂（含 e 的幂）、棣莫弗定理的证明、复数方程的根分布，也不处理含参复数的取值范围讨论。
复数题的分型处理：先判断"问什么"，再决定"算什么"
复数题看着短，实际错误集中在类型判断而不是计算。工具算得再准， 如果第一步没认出"这是模长问题"还是"这是辐角问题"，后面照样全错。
① 四种题型与对应动作
- 化简求值：直接用 z=a+bi 的代数运算，重点是实虚部分离
- 求模与辐角：模用 |z|=√(a²+b²)；辐角要分四个象限，工具给出的主辐角在 (-π,π]
- 共轭与运算：z̄=a-bi，z·z̄=|z|² 是化简利器
- 几何意义：把 z 看成平面向量，点 (a,b)，|z₁-z₂| 就是两点距离
② 用工具做三项自检
- 算完 |z|，回代验证 z·z̄=|z|² 是否成立
- 看辐角落在哪个象限，与你判断的是否一致——象限判断错是本题最高频失分
- 几何题里，把工具给出的 z 的实部虚部画成点，检查它是否落在你推的区域内
辐角可以用 kπ+θ 表示吗？
可以，但必须写清 k∈Z 与 θ 的取值范围。题目若只要求"一个辐角"，给出主辐角即可；若求所有辐角，要写成通解形式，否则只写一个值会漏解。
复数可以比较大小吗？
不可以。复数没有大小顺序，只有模长有大小关系。题目出现"比较大小"时，比较的一定是 |z| 或者 |z₁-z₂|，看到"大小"二字先确认比较对象是什么。
边界说明：本工具覆盖复数的四则运算、共轭、模、主辐角与几何表示； 不覆盖复数方程的求解（如 z²+az+b=0 的根）、不覆盖棣莫弗定理的证明与复数幂的展开、不覆盖复平面上的区域面积计算。
常见问题
z₂ = 0 时除法怎么算？
不能除。0 没有逆元。本工具此时会显示 ⚠ 而不是崩溃。请改用减法或求共轭。
辐角为什么有时是负数？
辐角 θ ∈ (−π, π] 是常用的取值范围（"主辐角"）。z 在第四象限时辐角为负，完全合理。如果题目要求 [0, 2π)，请把负值加 2π。
"z₁·z₂"和"z₁·z̄₁"差在哪？
后者 = |z₁|² 是实数；前者是两复数相乘 = 长度相乘、角度相加（旋转）。考试时常常考这两者的差异。
能算复数指数 e 的幂吗？
不支持，请绕路用"极坐标形式"配合 Euler 公式手算。本工具定位是四则运算 + 共轭/模，几何基础。
局限性与适用范围
- 只支持两个复数间的四则运算，多复数连乘/连加请手动结合律做。
- 辐角用主辐角（−π<θ≤π）。如考试要求 [0,2π)，请自行换算。
- 不含指数/三角函数复合，仅复数基本运算。